¿María está infectada?

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Por: Paulino J. Betancourt Figueroa

María se hace una prueba rápida de Covid-19 y da positivo. ¿María está infectada? La respuesta es que no lo sabemos con certeza, porque las pruebas para la Covid-19, como todas las pruebas médicas, no son infalibles. Es posible dar positivo y no tener la enfermedad, y de manera similar, uno puede dar negativo a pesar de estar infectado.

Hay varios tipos de prueba de la Covid-19, pero supongamos que María se hace una prueba rápida molecular que tiene una probabilidad del 95,2% de dar un resultado positivo si alguien está infectado (esto se llama sensibilidad) y una probabilidad de 98,9% de dar correctamente un resultado negativo si alguien no está infectado (esto se llama especificidad). Podemos ahora responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que María tenga Covid-19, dado que dio positivo en la prueba? De hecho, faltaría más información para responder. Por ejemplo, sería necesario conocer donde reside María. Si ella vive con diez personas que están todos infectados, con fiebre y no tienen sentido del olfato, entonces pensaríamos que es muy probable que María este contagiada. Pero, si María está completamente libre de síntomas y vive en la isla de la Orchila, donde no se ha registrado un caso de la enfermedad, asumiríamos que es casi seguro que obtuvo un “falso positivo”.

Es posible llevar a cabo un razonamiento como este de una manera más rigurosa, usando algo llamado teorema de Bayes. Esta sencilla ecuación, que lleva el nombre de un clérigo inglés del siglo XVIII llamado Thomas Bayes, se puede utilizar para responder preguntas como el dilema de María y es la base de gran parte de la ciencia moderna. El uso de esta regla a menudo puede producir resultados contrarios a la intuición, como veremos.

Matemáticamente se obtiene la probabilidad de que ocurra un evento A dado que otro evento B ya ha ocurrido (ver ecuación en 1). Es más fácil explicar esta fórmula trabajando con los cálculos del caso de María. Como se mencionó arriba, para obtener una estimación más precisa de la probabilidad de que María tenga la Covid-19, se necesita más información sobre ella. Supongamos que se nos indica que María estuvo durante los Carnavales en la Guaira el 15 de febrero de 2021. Si suponemos que los médicos estimaron que 1 de cada 100 personas estaba infectada para esa fecha con Covid-19 y no supiéramos sobre el resultado positivo de la prueba de María, nuestra estimación de la probabilidad de que María tenga coronavirus sería de 1%. Esta estimación inicial se llama probabilidad previa (a menudo simplemente llamada previa).

Cuando tomamos en cuenta la prueba positiva de María, sabemos que nuestra estimación de la probabilidad de que esté infectada aumentará, pero ¿en cuánto? Podemos usar la fórmula directamente, pero quizás la forma más fácil de pensar en esto es imaginar una muestra grande de personas en la Guaira, digamos cien mil, y supongamos que todos ellos tomaron una prueba para la Covid-19. De estas 100.000 personas, se esperaría que 1000 (es decir, el 1% de ellas) estuvieran infectadas y las 99.000 restantes libres de infección. Dado que hemos usado los datos del Dr. Cochrane, quien indica que nuestra prueba rápida tiene una sensibilidad del 95,2% y una especificidad del 98,9%, esto significa que el 95,2% de los 1.000 (952) y el 1,1% de los 99.000 tendrían un resultado positivo (1.089). Lo que implica tener 2.041 resultados positivos de las pruebas, de los cuales 952 serían de personas con coronavirus. Por lo tanto, la probabilidad de que alguien con un resultado positivo en la prueba (como María) tenga la enfermedad es de 952 dividido entre 2.041, alrededor del 47%. A esto a veces se le llama la paradoja de la tasa base. Estos valores se resumen en la siguiente tabla:

Esta paradoja describe situaciones en las que hay más resultados falsos positivos que verdaderos positivos, y tiene muchas aplicaciones, todas las cuales se derivan del mismo problema: no tener en cuenta que la probabilidad previa de un evento (la tasa base) es pequeña en comparación con la posibilidad de un falso positivo. Esta estimación de la probabilidad que queremos medir, basada en nueva información, se llama distribución posterior.

La belleza del teorema de Bayes es que se puede aplicar una y otra vez cada vez que tengamos nueva información. Por ejemplo, si nos dicen que María además tiene tos, entonces debido a que la probabilidad de que alguien con la Covid-19 tenga tos es mayor que la probabilidad de que alguien sin la enfermedad la tenga, nuestra probabilidad posterior de que María este infectada sería mayor que la probabilidad anterior.

Un ejemplo más simple podría ser imaginar si María hiciera una segunda prueba después de la primera y también diera positivo. ¿Cuál sería nuestra estimación de la probabilidad de que esté infectada ahora? Básicamente, hacemos el mismo cálculo que antes, pero consideramos que la probabilidad previa es del 47% en lugar del 1%. La probabilidad posterior se convierte en 98,7% (ver modelo de cálculo en 2). Así que ahora es más probable que María esté infectada. Si siguiera haciéndose pruebas y continuaran dando positivo, nuestra estimación de la probabilidad de que esté infectada seguiría aumentando, acercándose cada vez más al 100%.

Los métodos bayesianos ahora se utilizan en toda la ciencia, particularmente en inteligencia artificial y aprendizaje automático. Es notable cómo una ecuación tan simple puede producir resultados tan poco intuitivos y ayudarnos a tener mayor certeza de los resultados para tomar mejores decisiones.